Az alábbiakban egy elméleti, kombinatorikai érdekesség következik. Senkit nem akarok csalás vagy bármi egyéb rosszaság elkövetésére biztatni... :)

Még a rendszerváltás előtt, amikor a buszokon kattintós-lyukasztós jegykezelő automaták voltak, kisiskolásként nagy nehezen kiszámoltam, hányféle variációt tudnak ezek lyukasztani a 3x3-mas kis „táblázatba”. ...jó, ez még sokkal-sokkal azelőtt volt, hogy kombinatorikát tanultam, ahol újra találkoztam ezzel a témával – a tanár ezt használta a variációszámítás oktatásának egyik példájaként. A legtöbb ember elcsodálkozik, mikor szembesítik vele, hogy mennyire kevés féle számsort tudnak lyuasztani ezek az automaták.

Hány variáció is van?

Több tízezer, vágja rá a matematikai analfabéta.

A készülékek mindig 3 lyukat ütnek, sosem 2-t, vagy négyet. Így gyakorlatilag minden egyes variáció leírható egy 3 jegyű számként. 3 jegyű számból hány is van? Ez ugye attól függ, hogy a 015, 089, 002, és hasonlóakat is beleszámolom-e. Tehát egy diplomatatáska zárjának ugye 10*10*10, tehát ezerféle kombinációja van 000-tól 999-ig. (Egyszer kinyitottam egyet úgy, hogy kb. 800 kombinációt végigpróbálgattam...)

Igen ám, de a BKV-jegyen 0 nincsen, tehát ez az ezres érték máris 9*9*9-re redukálódott.

De ha már 9-9-9-nél tartunk: 999-es kódot tudunk lyukasztani? Ugye nem, mert mindig 3 lyuk van 3 különböző helyen! Tehát ha a 9-est kilyukasztottuk, a második lyuknak már csak 8 féle helyből választhatunk, a harmadik lyuknak pedig csak 7 szabad hely marad.

Tehát ha a 773, 464, 822 és hasonló kombinációkat is kizárom, akkor 9*8*7 kombináció marad összesen.

...bizony ám, de ez még kombináció, nekünk pedig variáció kell, amihez a kombinációk számát el kell osztani a permutációk számával. ...na, most ezt csak az értette, akinek nem is kell magyarázni az egészet. Szóval, az 147 és a 714 között a diplomatatáska zárján van különbség – de a jegyen nincs. Ha van 3 számjegyünk, hányféleképpen állíthatók sorba? A sorbaállítás lehetőségeit nevezik permutációnak, és számuk n elem esetén n! – magyarán, az első helyre még 3 számjegy közül választhatok, a másodikra már csak 2 közül, végül az utolsó helyre csak a megmaradt 1 számjegyemet tehetem. Ez minden esetben igaz, ha dolgokat akarunk sorbaállítani, pl. 6 elem esetén 6! = 720 a permutációk száma, a jegyeknél maradva viszont 3! = 1*2*3, tehát:

A variációk száma 7*8*9 / 1*2*3. Mielőtt elkezdenénk a számológépet verni, ez fejben egy pillanat alatt kiszámítható: először is egyszerűsítünk, tehát a számláló 9-esét a nevező 3-asa 3-asra redukálja, a 8-ast pedig a 2-es 4-re, tehát 7*4*3-mat kell kiszámolni. Másodszor is, az ilyen számsoroknak nem esik neki a gyakorlott fejszámoló, 7*4=28, aztán a 28-at szorozd hárommal, kösz... Hanem azt mondom, hogy 7*3=21, és 21*4 = 84.

84. Ennyi variációja van egy BKV-jegykezelő automatának összesen. Mármint egy MSZP-snek. A Fideszesekre ilyen trükk nincs. (A színük alapján társítom őket pártokkal.) Vagyis ha 84 jegyet hordunk a zsebünkben sorba rendezve, meg néhány használt jegyet tesztjegynek, gyakorlatilag minden MSZP-s buszon ingyen utazunk, ez pedig még most is a járművek 1/3-a. Akinek nincs pénze 84 jegyre, akár össze is guberálhatja: az emberek rendszeresen eldobálják a használt jegyet a megállókban, járműveken, még az olyan viszonylatokon is, ahol összesen 4 jármű közlekedik, tehát 4 jeggyel a járaton a végtelenségig lehetne utazni – illetve addig, amíg át nem állítják az automatákat, ez nem tudom, milyen rendszerességgel történik meg, de a BKV-t ismerve mondjuk... 35 évente?

Aki ennek a kiszámolását helyből, fejben megoldotta, annak jöjjön egy kicsivel nehezebb feladvány:

Ha az ellenőrrel elhitetem, hogy véletlenül fordítva dugtam be a jegyet, akkor összesen hány jeggyel tudnék az MSZP-s buszokon ingyen utazni?

Minden variációnak van egy tükrözéssel nyert párja, tehát az 125-nek a 235, az 159-nek a 357, stb. Tehát 84/2 = 42 pár. Igen ám, de vannak olyan minták, amelyek „önmaguk párjai”, mert szimmetrikusak, tehát nem felezhetem el a számukat. Először is ezeket kell megkeresni.

123, 456, 789 értelemszerűen, valamint 153, 183, 246, 468, 279 és 579. Kihagytunk valamit? Bizony, a 258 a tizedik. Van még? ....ööö, nincs. Tehát a 84 mintából 10 szimmetrikus, 74 nem az. 74/2 = 37, plusz a 10 szimmetrikus: 47.

És akkor már bele se menjünk abba, hogy még pl. az 124-et eladhatom egy nem eléggé bedugott 457-nek, és a többi. Mert hiszen nem a csalás a célunk, csak egy kis matekgyakorlatozgatás..... Ezért nem írom meg, hogy a fideszes automatáknál, akár a metróban is, hogyan lehetne többször használni egy jegyet. De lehetne.

„Don’t you see? There isn’t a test that’s been created a smart man can’t find his way around.”